Pochodzenie
Syn oficjalisty Józefa Sanguszki i Marianny z Nowickich. Pierwsze nauki pobierał w szkołach pijarskich i pojezuickich, znajdujących się w Warszawie. W roku 1797 objął on posadę nauczyciela domowego u Ignacego Tiede, skierniewickiego plenipotenta arcybiskupa I. Krasickiego. Wykształcenie średnie uzupełnił w Instytucie Pedagogicznym w Sulechowie nad Odrą, gdzie uczył się biegłości w mowie i piśmie języka polskiego w niższych klasach.
Stypendysta pruskiego rządu
W latach 1802-1803, jako stypendysta rządu pruskiego, Bentkowski studiował w niemieckim Uniwersytecie w Halle. Był on też tam lektorem języka i literatury polskiej. Wrócił do kraju w roku 1803 i został powołany na profesora języków starożytnych oraz języka niemieckiego w Liceum Warszawskim. Od września roku 1807, Bentkowski wykładał tamże język i literaturę polską. Dnia 15 września roku 1809 został mianowany profesorem literatury polskiej i powszechnej oraz objął stanowisko kierownika nauczania języka polskiego, stylu i literatury. Od roku 1809 wykładał dodatkowo historię Polski i historię powszechną, a w roku 1810 został kierownikiem nauczania historii i geografii. W roku 1811 Towarzystwo Ksiąg Elementarnych, zleciło mu przygotowanie podręcznika literatury dla klasy VI szkół wojewódzkich. W latach 1811-1817 sprawował funkcję kierownika biblioteki licealnej. W tym samym czasie pełnił obowiązki nauczyciela w domu Tomasza Ostrowskiego.
Życie prywatne
W roku 1812 ożenił się z Emilią Zeydler. Jego córka Klementyna wyszła za mąż za Kazimierza Stronczyńskiego. W roku 1816 Feliks Bentkowski, jako pierwszy został uhonorowany godnością doktora Honoris Causa Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz uzyskał doktorat filozofii (za działo Historia literatury polskiej...). W tym samym czasie został członkiem-korespondentem Towarzystwa Naukowego Krakowskiego oraz sprawował pieczę nad płockim Towarzystwem Naukowym. Przy Uniwersytecie założył on Gabinet Numizmatyczny, którego był dyrektorem. Od roku 1823 był także nauczycielem syna wielkiego księcia Konstantego.